Математическое моделирование и численный анализ
В настоящее время в инженерной практике компьютерное моделирование физических процессов зачастую базируется на методе конечных элементов (МКЭ) и аналогичных подходах, предполагающих сеточную аппроксимацию рассматриваемой области. Будучи реализованными в виде коммерческих пакетов программ (ANSYS, Abacus, Comsol Multiphysics и др.), эти методы рассматриваются как универсальный инструмент моделирования, применимый для объектов произвольной формы с произвольной неоднородностью физических свойств. Коллектив ИММИ имеет опыт использования и изучения некоторых конечноэлементных пакетов, а в настоящий момент приступил к созданию собственных процедур для МКЭ. В некоторых аспектах сеточные методы плохо применимы к задачам распространения и дифракции бегущих волн. Сложная пространственная структура волновых полей требует большого количества элементов или ячеек для их удовлетворительной аппроксимации. В результате, использование МКЭ с протяженными волноводными структурами, представляющими основной интерес при изучении бегущих волн, приводит к резкому росту требуемого числа элементов, что делает его слишком затратным. К тому же МКЭ не дает ясного физического представления о волновой структуре решения.
Как альтернатива, существуют классические аналитические и полуаналитические методы решения волновых задач, дающие физически наглядное описание волновой структуры решения при практически пренебрежимых вычислительных затратах. Для разработки полуаналитических моделей в ИММИ используют пакеты прикладных программ для аналитической обработки (Wolfram Mathematica, Maple, Matlab, Fortran, C++, Python). В определенной степени разрыв между сеточными аппроксимациями и модальным анализом закрывает интегральный подход, базирующийся на представлении волновых полей в виде поверхностных интегралов, содержащих матрицу Грина рассматриваемой слоистой структуры. Дискретизация таких гранично-интегральных представлений эквивалентна аппроксимации решения в рамках метода граничных элементов. Данный подход, получивший название метод слоистых элементов (МСЭ), как и интегральный подход в целом, активно развивается коллективом ИММИ. Однако область его применимости в плане геометрии и упругих свойств все же существенно уже, чем у МКЭ. К тому же применение МСЭ в случае препятствий, границы которых не являются строго горизонтальными или вертикальными (наклонные трещины, эллиптическое включение и т.п.) приводит к сложным интегральным представлениям, вывод которых требует скрупулезных аналитических выкладок и высокой квалификации исследователя, осуществляющего его компьютерную реализацию. К настоящему моменту уже разработаны и построены эффективные математические модели, базирующиеся на интегральном подходе. Кроме того, уже реализованы процедуры, строящие матрицы Грина и рассчитывающие волновые поля в слоистых композитах без дефектов для поверхностных нагрузок, заданных в областях классической формы (штамп и идеальное сцепление с поверхностью).
