Интегральные преобразования
Даже достаточно сложную обработку и анализ данных можно вести на обычном компьютере с помощью готовых пакетов и прикладных программ, не вникая в суть алгоритмов и стоящих за ними методов, опираясь лишь на описание процедур. Нередко применение коммерческих пакетов сильно ускоряет решение стандартных задач, так как в основе многих алгоритмов лежат многочисленные и сложные понятия и инструменты и функционального анализа, математической статистики и многих других разделов математики. Однако даже при анализе стандартных задач часто возникают вопросы, которые требуют хотя бы общего представления о механизмах работы алгоритмов (выбор фильтра, преобразования и т.д.). Тем более важно знать эти особенности, когда стоят более сложные задачи анализа или научно-исследовательские проблемы. В качестве иллюстрации можно упомянуть ныне крайне широко применяемое преобразование Фурье и вейвлет-анализ, без которых сложно представить решение ряда задач физики, химии, экономики, прикладной математики.
Первые интегральные преобразования были предложены Фурье, Лапласом, Пуассоном, Коши в XIX в. главным образом при работе над задачами по распространению тепла. Сейчас интегральное преобразование Фурье представляет собой одно из наиболее важных понятий классического и современного анализа. Интегральные преобразования постепенно развивались, переплетаясь с разными разделами математики, и находили новые приложения, в частности, при обработке и анализе сигналов и данных. В 1920-х установили, что интегральные преобразования лежат в основе операционного исчисления, при этом важнейшая роль отведена теореме о свёртках. После разработки аппарата обобщённых функций многие вопросы теории интегральных преобразований получили более общую трактовку, а спектр приложений стал ещё более широким (от электрохимии до космоса).
